Objectifs
Écrire une équation de droite connaissant un point et
un vecteur normal.
Écrire et reconnaître une équation de cercle.
Écrire et reconnaître une équation de cercle.
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère
orthonormé 
.
.
1. Équation d'une perpendiculaire
a. Vecteur normal à une droite
Définition :
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.
est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).
b. Propriété caractéristique d'une droite
connaissant un point et un vecteur normal
Propriété :
La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est l’ensemble des points M du plan
tels que 
.
La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est l’ensemble des points M du plan
tels que
.
c. Équation d'une droite connaissant un point et un
vecteur normal
La propriété ci-dessus permet ainsi de
déterminer une équation cartésienne de (D)
connaissant les coordonnées d’un point A de (D)
et d‘un vecteur normal 
.
En effet, en considérant
et 
, on
peut dire que 
appartient à (D)
équivaut à 
.
On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si
est un vecteur normal à une
droite (D), alors une équation de (D) est de la forme
.
Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur
.
Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or
et 
ainsi
équivaut à
équation cartésienne
de la droite (D).
Méthode n°2 : Comme
est un vecteur normal, on peut dire
qu’une équation de (D) est de la forme 
d’après la 2e
remarque énoncée.
Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.
Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation
alors le vecteur 
est un vecteur normal à
(D).
Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation
a pour vecteur normal le vecteur 
.
.En effet, en considérant
et , on
peut dire que appartient à (D)
équivaut à .On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si
est un vecteur normal à une
droite (D), alors une équation de (D) est de la forme
.Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur
.Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or
et ainsi
équivaut à équation cartésienne
de la droite (D).Méthode n°2 : Comme
est un vecteur normal, on peut dire
qu’une équation de (D) est de la forme d’après la 2e
remarque énoncée.Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation
alors le vecteur est un vecteur normal à
(D).Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation
a pour vecteur normal le vecteur .
2. Équation de cercle
En connaissant le centre et le rayon
Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(2,-1) et de rayon 3 est
.
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
.
Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant
?
On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme
.
s’écrit aussi
.
Or
est le début du
développement de 
et plus
précisément 
. De même, 
.
Ainsi,
s’écrit aussi
soit 
,
c’est-à-dire 
.
Cette équation est de la forme
avec
a = 1 , 
(attention au signe - !) et 
.
On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre
et de rayon 
.
Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de rayon R est
Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(2,-1) et de rayon 3 est
.On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
.Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant
?On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme
. s’écrit aussi
.Or
est le début du
développement de et plus
précisément . De même, .Ainsi,
s’écrit aussi
soit ,
c’est-à-dire .Cette équation est de la forme
avec
a = 1 , (attention au signe - !) et .On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre
et de rayon .
L'essentiel
Toute droite de vecteur normal 
a pour équation 
.Une équation du cercle de centre
et de rayon R est 
.