Le produit scalaire

Objectif(s)
Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la formule appropriée au contexte.
1. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé
a. Définition
Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et .

Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .
Ce réel ne dépend pas du repère choisi.

Exemple :
et alors .
b. Propriétés immédiates
Pour tous vecteurs , , et réel on a :
• (symétrie)

•

• (distributivité).

c. Norme d'un vecteur et produit scalaire
est appelé carré scalaire de et .
Ainsi, en posant on a l’égalité suivante :
.
(carré scalaire de norme de au carré longueur AB au carré).

Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :


.

Exemple d’utilisation :

Sachant que , et , calculer et en déduire .
.
Ainsi, d’où .



 


d. Orthogonalité de 2 vecteurs
Propriété :
Dire que et sont orthogonaux signifie que .

Exemple d’utilisation :

On considère les points , , et .
Prouver que les vecteurs et sont orthogonaux.
c’est-à-dire .
De même, .
Ainsi, .
Nous pouvons donc conclure que les vecteurs et sont orthogonaux et donc le triangle ABC est un triangle rectangle en A .
e. Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
Soit et 2 vecteurs colinéaires.
si et sont colinéaires de même sens
si et sont colinéaires de sens contraires.


Exemple d'utilisation :

ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 6 .
.


2. Autres expressions du produit scalaire
a. À l'aide des projections orthogonales
Propriété :
Soit et 2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale de C sur (AB).
Alors si et sont colinéaires de même sens
                                           si et sont colinéaires de sens contraire.


Exemple d’utilisation :

ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer .

La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].
.



b. À l'aide du cosinus de l'angle formé par les 2 vecteurs
Propriété :
et étant 2 vecteurs non nuls,
En posant et , cette propriété s’écrit .


Exemple d’utilisation :
Dans le triangle précédent,

L'essentiel
• Étant donnés 2 vecteurs et , .

• Pour et non nuls, .

• En choisissant et , avec projection orthogonale de C sur (AB).

• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir et sont orthogonaux équivaut à .