Objectif
Utiliser les définitions et propriétés du
produit scalaire afin de déterminer des mesures
d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment.
1. Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère
orthonormé
a. Principe
A, B, C sont 3 points repérés par leurs
coordonnées dans repère orthonormé 
.
Exprimons le produit scalaire
de deux façons
différentes :
d’une part,
d’autre part.
Ainsi, on peut en conclure que
,
ce qui permet dévaluer une mesure de l’angle
.
Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.
.Exprimons le produit scalaire
de deux façons
différentes :
d’une part, d’autre part.Ainsi, on peut en conclure que
,ce qui permet dévaluer une mesure de l’angle
.Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.
b. Application
Soit 
, 
et 
.
Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus,
.
Or
soit 
et
.
Ainsi,
et 
En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice (
), on obtient 
au degré
près.
Pour déterminer une mesure de l‘angle
, on utilise la même
démarche et on obtient :
et 
Ainsi,
d'où 
au
degré près.
On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et
au degré
près.
, et .Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus,
.Or
soit et
.Ainsi,
et En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice (
), on obtient au degré
près.Pour déterminer une mesure de l‘angle
, on utilise la même
démarche et on obtient : et Ainsi,
d'où au
degré près.On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et
au degré
près.
2. Théorème d'Al Kashi
a. Théorème
ABC est un triangle où l’on adopte les notations
suivantes : 
, 
et 
.
, 
et 
.
, et ., et .
ce qui s’écrit à l’aide des notations
ci-dessus :
Par permutation circulaire, on a également
Ces formules permettent de déterminer une mesure des
angles du triangle connaissant les longueurs des 3, ou
déterminer la longueur du 3e coté
connaissant 2 cotés et l’angle encadré par ces
2 cotés.
On remarquera qu’elles généralisent le théorème de Pythagore.
On remarquera qu’elles généralisent le théorème de Pythagore.
b. Exemple d'application
Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et 
.
Déterminer la longueur du coté BC.
On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser
.
.
Ainsi,
.
.
Déterminer la longueur du coté BC.On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser
..Ainsi,
.
3. Théorème de la médiane
On considère un segment 
de milieu I .
Alors pour tout point M du plan,
Cette relation permet notamment lorsque l’on
connaît la longueur des 3 cotés d’un triangle,
de déterminer la longueur de la médiane de milieu I .Alors pour tout point M du plan,
.
Preuve :
Exemple d’utilisation : Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane
.D’après la relation précédente,
.
soit 
L'essentiel
Le théorème d’Al Kashi et le
théorème de la médiane permettent de
déterminer les angles, la longueur d’un coté ou
la longueur d’une médiane dans un triangle
donné.