Cosinus et sinus d'un angle orienté

Objectif

Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer le cosinus et le sinus d’angles de vecteurs.
Résoudre des équations trigonométriques.

1. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs

a. Cosinus et sinus d'un réel (rappels)

(C) est le cercle trigonométrique de centre O muni du repère orthonormé .



À tout réel x correspond un unique point M sur le cercle (C).

Par définition, le point M a pour abscisse cos x et pour ordonnée sin x dans le repère (O, I, J).

b. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs non nuls

Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) de l’une de ses mesures.

Si x désigne une mesure de l’angle alors et

Exemple : et

c. Propriétés immédiates

Pour tout réel on a :

  •

  •

  • où

d. Valeurs remarquables

x	0
cos x	1				0
sin x	0				1

2. Angles associés

a. Configuration du rectangle

Sur le cercle ci-dessous, les points sont associés aux réels x, π – x, π + x et –x.



M et M' sont symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses opposées :

M et M'' sont symétriques par rapport à O donc ils ont des abscisses et ordonnées opposées :

M et M''' sont symétriques par rapport à l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées :

b. Angles complémentaires

Sur le cercle ci-dessous, les points M, M₁ et M₂ sont associés aux réels et .



Pour tout réel x on a et

3. Equations trigonométriques

• Les solutions de l’équation sont les réels et .
• Les solutions de l’équation sont les réels et .

L'essentiel

Sinus et cosinus prennent des valeurs particulières pour des mesures d’angles remarquables à connaître. Il en va de même pour les formules relatives aux angles associés.

Cependant, une bonne manipulation du cercle trigonométrique permet de retrouver facilement la plupart des résultats.