Objectif(s)
Découvrir et déterminer une équation
cartésienne de droite.
1. Équation cartésienne de droite connaissant un
point et un vecteur directeur
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère
.
.
a. Vecteur directeur d'une droite
Définition :
donne la direction de la droite
(D).
Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à
sont aussi vecteurs directeurs
de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs
directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur
est l'ensemble des points
M du plan vérifiant 
et 
colinéaires.
(D) est une droite, A et B sont 2 points de
(D).
On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur
non nul colinéaire
à 
.
Autrement dit, le vecteur On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur
non nul colinéaire
à .
donne la direction de la droite
(D).Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à
sont aussi vecteurs directeurs
de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs
directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur
est l'ensemble des points
M du plan vérifiant et colinéaires.
b. Équation cartésienne d'une droite
Considérons une droite (D) passant par
A(xA,yA) et de vecteur
directeur 
.
Dire que
et
colinéaires
Nous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
.Dire que
et
colinéairesNous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
Cette équation est appelée équation
cartésienne de la droite (D) ; elle lie les
abscisses et ordonnées de tout point M(x,y) de
cette droite et uniquement les points de cette droite.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
c. Application
1°) Tracer la droite (D) passant par A(–1,2) et de
vecteur directeur 
et en écrire une
équation cartésienne.
On place le point A, et on applique le vecteur
en
ce point.
Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de
.
Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire
et 
colinéaires
On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne
.
2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir
.
Ainsi,
soit 
.
On a finalement
et 
est un point de
(D).
3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que
revient à dire que les
coordonnées de C vérifient l'équation
de (D).
Or
Donc, oui C est sur (D).
et en écrire une
équation cartésienne.On place le point A, et on applique le vecteur
en
ce point.Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de
.Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire
et colinéairesOn peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne
.2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir
.Ainsi,
soit .On a finalement
et est un point de
(D).3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que
revient à dire que les
coordonnées de C vérifient l'équation
de (D).Or
Donc, oui C est sur (D).
2. Vecteur directeur d'une droite (D) connaissant une
équation cartésienne
a. Propriété
L'ensemble des points M(x,y) tels que
ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠
(0,0) est une droite vecteur directeur 
.
.
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
b. Exemple d'application
On considère la droite (D) d'équation
cartésienne 2x – 3y + 1 = 0.
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur
est vecteur directeur de
(D).
2°) Le vecteur
est-il un vecteur de (D)
?
est aussi vecteur de (D) à condition que
et 
soient colinéaires.
On remarque que
donc 
est un vecteur directeur de (D).
3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit aussi 
soit 
Ainsi,
est coefficient directeur de
(D).
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur
est vecteur directeur de
(D).2°) Le vecteur
est-il un vecteur de (D)
?est aussi vecteur de (D) à condition que
et soient colinéaires.On remarque que
donc est un vecteur directeur de (D).3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit aussi soit Ainsi,
est coefficient directeur de
(D).
L'essentiel
Toute droite du plan admet une équation de la forme
ax + by + c = 0 appelée équation
cartésienne.
Le vecteur
est un vecteur directeur de
cette droite. Il donne la direction de cette droite.
Le vecteur
est un vecteur directeur de
cette droite. Il donne la direction de cette droite.