Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus et le
sinus d’une somme ou d’une différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques :
Preuve :
Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé
, considérons les
points A et B repérés respectivement par les
réels a et b .De ce fait, dans le repère
, le point A a pour
coordonnées 
, le point B a pour
coordonnées 
et l’angle 
pour
mesure b – a.Évaluons le produit scalaire
de 2
manières différentes :
mais aussi
car :
•
et 
sont des rayons du cercle
trigonométrique de rayon 1.•
pour tout réel X .D’où l’égalité :
.En remplaçant b par (–b) on obtient :
.En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que
.Ainsi,
De même que ci-dessus, on obtient
en remplaçant
b par –b .
b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes 
et 
On obtient ainsi le cosinus et le sinus de
en valeurs exactes.
• Montrer que
pour tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation
.
Ainsi, résoudre
revient à
résoudre 
soit 
c'est-à-dire 
.
Or
, ainsi, cela revient à
déterminer les réels t tels que 
.
D'après la résolution de l'équation du type
, on en déduit
que :
où 
soit 
où 
.
et On obtient ainsi le cosinus et le sinus de
en valeurs exactes.• Montrer que
pour tout réel t.En déduire les solutions de l'équation
.Ainsi, résoudre
revient à
résoudre soit
c'est-à-dire .Or
, ainsi, cela revient à
déterminer les réels t tels que .D'après la résolution de l'équation du type
, on en déduit
que : où
soit où .
2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans 
et
, on obtient :
Mais aussi en utilisant 
on peut obtenir 
en
fonction de 
ou 
à savoir :
ou 
et
, on obtient :
Pour tout réel a,
on peut obtenir en
fonction de ou à savoir : ou
b. Exemples d'utilisation
• Exprimer 
en fonction de 
puis en déduire en
valeurs exactes 
.
On a vu que
; ainsi 
.
En posant
, on obtient :
.
Comme
, 
.
On peu de même déterminer
.
• Déterminer
en fonction de 
uniquement.
En partant du fait que
, on obtient
Or
, d'où
On prouverait de même que
.
en fonction de puis en déduire en
valeurs exactes .On a vu que
; ainsi .En posant
, on obtient :.Comme
, .On peu de même déterminer
.• Déterminer
en fonction de uniquement.En partant du fait que
, on obtientOr
, d'oùOn prouverait de même que
.
L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b ,
et en changeant b en (–b), on obtient
et 
.
Pour tout réel a ,
et 
.