Objectif
Découvrir la notion d’angle orienté de vecteurs
et déterminer ses mesures ainsi que sa mesure
principale.
1. Mesures d'un angle orienté
a. Angle orienté de vecteurs
Un couple de vecteurs 
définit un angle
orienté.
(C) étant le cercle trigonométrique de
centre O, considérons les points A et B de tels que
définit un angle
orienté.
et 
soient colinéaires et
de même sens respectivement à 
et
.Les couples de vecteurs
et 
définissent le même angle orienté et ont
donc mêmes mesures.
b. Comment définir les mesures de l'angle
Les mesures en radians de l’angle 
sont les réels
où β et α
sont des réels respectivement associés aux points A
et B dans l’enroulement de la droite des réels autour
du cercle (C).
sont les réels
où β et α
sont des réels respectivement associés aux points A
et B dans l’enroulement de la droite des réels autour
du cercle (C).
Ainsi, tout angle orienté admet une infinité de mesures puisque α et β sont des réels définis à 2π près.
Soit x l’une de ses mesures, toutes les autres sont de la forme x + 2kπ avec
.On écrira
ou tout simplement,
.Exemple : J est repéré par
et M par 
.Alors une mesure de l’angle
est
.Toutes les mesures de cet angle sont donc les réels
avec 
.
2. Mesure principale d'un angle orienté
a. Définition
Étant donné un angle 
, une unique mesure de cet angle
appartient à l’intervalle 
: elle est appelée mesure
principale de l’angle 
.
, une unique mesure de cet angle
appartient à l’intervalle : elle est appelée mesure
principale de l’angle .
En effet, étant donné que toute mesure se retrouve à 2π près, tout intervalle de longueur 2π contient une seule mesure de l’angle (une des 2 bornes étant exclue et l’autre incluse bien sûr !).
La mesure principale est très intéressante puisqu’elle donne la mesure géométrique de l’angle
associée d’un
signe : + si on tourne de 
vers 
dans
le sens trigonométrique et d’un signe –
sinon.
b. Détermination de mesure principale
Exercice 1 :
ABCD est un carré de centre O.
Déterminer la mesure principale de l’angle
,
puis 
.
• l’angle
:
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers 
dans le sens
trigonométrique, alors la mesure principale de l’angle
est 
.
• l’angle
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers 
dans le sens contraire au
sens trigonométrique, alors la mesure principale de
l’angle 
est 
.
• l’angle
Plaçons tout d’abord les vecteurs
et
à même origine en choisissant le vecteur
comme représentant d’origine D du vecteur
.
L’angle
mesure 
et comme on tourne dans le sens contraire
au sens trigonométrique pour aller de 
vers
, alors l’angle 
a pour mesure principale
.
Exercice 2 :
On donne
.
Déterminer sa mesure principale.
Méthode : on ajoute ou on enlève des multiples de 2π afin de trouver une mesure dans l’intervalle
donc on peut enlever 2π rad pour
obtenir une autre mesure de cet angle et 
.
Or
donc c’est la mesure principale de
.
ABCD est un carré de centre O.
Déterminer la mesure principale de l’angle
,
puis .• l’angle
:Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers dans le sens
trigonométrique, alors la mesure principale de l’angle
est .• l’angle
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers dans le sens contraire au
sens trigonométrique, alors la mesure principale de
l’angle est .• l’angle
Plaçons tout d’abord les vecteurs
et
à même origine en choisissant le vecteur
comme représentant d’origine D du vecteur
.L’angle
mesure et comme on tourne dans le sens contraire
au sens trigonométrique pour aller de vers
, alors l’angle a pour mesure principale
.Exercice 2 :
On donne
.Déterminer sa mesure principale.
Méthode : on ajoute ou on enlève des multiples de 2π afin de trouver une mesure dans l’intervalle
donc on peut enlever 2π rad pour
obtenir une autre mesure de cet angle et .Or
donc c’est la mesure principale de
.
L'essentiel
Un angle orienté de vecteurs admet une infinité de
mesures exprimées en radians, de la forme 
où 
. Une seule de ces mesures appartient à
l’intervalle
: elle s’appelle la mesure principale de
l’angle.
où . Une seule de ces mesures appartient à
l’intervalle : elle s’appelle la mesure principale de
l’angle.