cours de maths pour le tronc commun science bac international
Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
Objectif
Approfondir la notion de vecteurs colinéaires abordée
en seconde.
1. Vecteurs colinéaires
a. Définition et conséquence
On dit que 2 vecteurs 
et 
sont colinéaires
lorsqu’il existe un réel 
tel que 
.
et sont colinéaires
lorsqu’il existe un réel tel que .
, le vecteur nul est donc
colinéaire à tout autre vecteur.Exemple :
Sur le dessin ci-dessus,
donc 
et
sont colinéaires.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires
non nuls ont la même direction.
Conséquences géométriques :
Dire que les vecteurs
et 
sont colinéaires
signifie que les points A, B, C sont
alignés.Dire que les vecteurs non nuls
et 
sont colinéaires
signifie que les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
b. Traduction analytique de la colinéarité
Dans un repère 
du plan, dire que les vecteurs et 
sont colinéaires signifie que
.
Preuve :
Dire que les vecteurs
et 
sont colinéaires
signifie que 
.
En classe de seconde, on a vu que
a pour coordonnées
.
Ainsi dire que
signifie que 
et
, autrement dit les
coordonnées de 
et 
sont proportionnelles.
Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat
soit 
.
du plan, dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que
.Preuve :
Dire que les vecteurs
et sont colinéaires
signifie que .En classe de seconde, on a vu que
a pour coordonnées
.Ainsi dire que
signifie que et
, autrement dit les
coordonnées de et sont proportionnelles.Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| x | x' |
| y | y' |
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat
soit .
c. Exemple d'utilisation
est un repère du
plan.Les points
, 
, 
sont-ils alignés
?
Dire que les points E, F et G sont alignés revient à dire que les vecteurs
et 
sont colinéaires :
soit 
.De même
soit 
.
donc les vecteurs
et 
ne sont pas
colinéaires d’où E, F, G,
ne sont pas alignés.
2. Décomposition d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs
non colinéaires
a. Propriété
On considère
et 
deux vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout vecteur
il existe un couple unique
(x, y) de réels tels que 
.
et deux vecteurs non colinéaires du plan.Pour tout vecteur
il existe un couple unique
(x, y) de réels tels que .
Autrement dit, tout vecteur
se décompose d'une
façon unique en fonction de
et 
.
b. Exemple d'utilisation
Dans un repère, on considère les vecteurs 
et
.
1°) Prouver que les vecteurs
et 
ne sont pas
colinéaires.
2°) Exprimer le vecteur
en fonction des vecteurs
et 
.
1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,
et 
2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que
Le vecteur
a pour coordonnées
Dire que le vecteur
est égal au vecteur
signifie que leur
coordonnées sont égales.
À savoir
Nous pouvons conclure que
et.1°) Prouver que les vecteurs
et ne sont pas
colinéaires.2°) Exprimer le vecteur
en fonction des vecteurs
et .1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,
et 2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que
Le vecteur
a pour coordonnées
Dire que le vecteur
est égal au vecteur
signifie que leur
coordonnées sont égales.À savoir
Nous pouvons conclure que
L'essentiel
et 
sont colinéaires
revient à dire que 
.
et 
étant 2 vecteurs non
colinéaires, tout vecteur 
s’écrit de
façon unique 
où x et y sont 2 réels.